Αξιολόγηση στην Εκπαίδευση: Καταρχήν ναι, αλλά πώς διασφαλίζεται η αντικειμενικότητα;

Τούτες τις μέρες έχει έρθει (για μία ακόμα φορά) στη δημόσια συζήτηση το ζήτημα της αξιολόγησης των εκπαιδευτικών. Θα συμφωνήσω καταρχήν με την αναγκαιότητα του μέτρου. Έχοντας θητεύσει επί σειρά ετών στην Τριτοβάθμια, περνούσα κάθε χρόνο από την διαδικασία της αξιολόγησης σε ό,τι αφορά τόσο την παραγωγή επιστημονικού έργου, όσο και την ποιότητα της διδασκαλίας.

Υπάρχει, εν τούτοις, ένα λεπτό ζήτημα σχετικά με το δεύτερο κριτήριο αξιολόγησης: Πόσο απροκατάληπτοι και δίκαιοι, άρα αντικειμενικοί και αξιόπιστοι, είναι οι κριτές; Και, αυτοί δεν είναι άλλοι από τους ίδιους τους μαθητές μας. Μία προσωπική εμπειρία, πριν πολλά χρόνια, μου έχει αφήσει μια δυσάρεστη επίγευση στη θητεία μου ως εκπαιδευτικού. Το δημοσιευμένο κείμενο στο οποίο περιέγραψα την εμπειρία αυτή το είχα πάντα αναρτημένο σε εμφανές σημείο στο γραφείο μου. Απ' όσο γνωρίζω, υπάρχει εκεί ακόμα...

Πόσο καλή είναι, τελικά, η αντιαυταρχική εκπαίδευση;

Electromagnetic Theory: New Research and Developments

https://novapublishers.com/shop/electromagnetic-theory-new-research-and-developments/

Συλλεκτικός τόμος άρθρων έρευνας στην περιοχή του Ηλεκτρομαγνητισμού.

Εκδότης: Nova Science Publishers

Editor τόμου: Volodymyr Krasnoholovets, PhD – Senior Research Scientist, Department of Theoretical Physics, Institute of Physics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, Ukraine

Τα ηλεκτρονικά "χειρόγραφα" των Κεφαλαίων 2 και 3 είναι αναρτημένα στο ArXiv.org, στα παρακάτω links:

Revisiting the Charging–Capacitor Problem: Maxwell’s Equations and Approximate Solutions

On Non-Monochromatic Plane-Wave Solutions of Maxwell’s Equations

Ο δάσκαλος που δεν ξεχάστηκε...

Τι είναι αυτό που κάνει έναν δάσκαλο να μείνει αξέχαστος; Το ότι έχει το χάρισμα να κάνει τα δύσκολα να φαίνονται απλά. Και, πάνω απ' όλα, το ότι βοηθά τον μαθητή να ανακαλύψει τον εαυτό του.

Γράφει ο Κώστας Παπαχρήστου

Ο φίλος μου ο Αριστείδης μιλά πάντα με συγκίνηση για τον κύριο Σεραφείμ, καθηγητή του πριν πολλά χρόνια (δεν θα πω πόσα...) στο Πολυτεχνείο:

– Είχε έναν μοναδικό τρόπο να εξηγεί τις πιο περίπλοκες έννοιες και να προσεγγίζει τα πιο δύσκολα προβλήματα, κάνοντάς τα όλα να φαίνονται απλά. Έλεγες: «Ώστε, τόσο εύκολο ήταν, τελικά!»

Όπως περιγράφει ο Αριστείδης, στις αίθουσες όπου δίδασκε ο κ. Σεραφείμ έπρεπε να είχες κρατήσει... θέση από την προηγούμενη μέρα για να βρεις κάπου να καθίσεις (και πάντα υπήρχαν και όρθιοι).

Δεν είμαι σε θέση να γνωρίζω τη σχέση που είχε ο εξαίρετος αυτός δάσκαλος με την φιλοσοφία (και, δυστυχώς, είναι πλέον πρακτικά αδύνατο να τον βρω κάπου στη Γη ώστε να τον ρωτήσω...). Όμως, έστω και χωρίς να το κάνει συνειδητά – αλλά μόνο με το αλάνθαστο ένστικτο του καλού εκπαιδευτικού – εφάρμοζε την Σωκρατική προτροπή:

«Γνώθι σαυτόν»!

Δηλαδή, να γνωρίσεις τον εαυτό σου, να αποκτήσεις αυτογνωσία (και, σε βαθύτερο ηθικό επίπεδο, αυτοσυνειδησία).

Υπάρχουν δύο δυνατές αναγνώσεις τού «γνώθι σαυτόν», συμπληρωματικές η μία ως προς την άλλη. Η πρώτη - ίσως η πιο αυθεντικά σωκρατική - μας ζητά να γνωρίσουμε τα όρια της νόησής μας προτού επιχειρήσουμε να απαντήσουμε σε ερωτήματα που μας ξεπερνούν. (Αυτό ήταν, κατά βάση, και το μήνυμα του Καντ στην «Κριτική του Καθαρού Λόγου» του.)

Η εναλλακτική («θετική») ερμηνεία της ρήσης μάς ζητά, αντίθετα, να υπερβούμε αυτά που θεωρούμε ως όρια της νόησής μας, ανακαλύπτοντας νέες δυνατότητές της που δεν γνωρίζαμε. «Μου φαίνεται, τελικά, τόσο απλό. Είχα αδικήσει τον εαυτό μου πιστεύοντας πως δεν είχα τη δυνατότητα να το καταλάβω», μονολογούσε με μία δόση θαυμασμού ο φοιτητής που παρακολουθούσε τις διαλέξεις τού (αείμνηστου πλέον) κ. Σεραφείμ στο ΕΜΠ.

Ο καλός δάσκαλος, λοιπόν, είναι ένα είδος μάγου. Κάνει τον μαθητή να νιώσει ότι η γνώση βρισκόταν πάντα μέσα του αλλά ανέμενε κάποιον οδηγό να της φωτίσει τον δρόμο προς τη συνείδηση:

«Αυτά που σου διδάσκω τα γνώριζες ήδη, όμως δεν γνώριζες ότι τα γνώριζες!»

Θα λέγαμε ότι ο καλός δάσκαλος είναι σαν τον καλό γλύπτη. Παίρνει ένα αδιαμόρφωτο κομμάτι μάρμαρο και αναδεικνύει την ωραία μορφή που βρισκόταν εξαρχής στο εσωτερικό του, μα κανείς δεν μπορούσε να την δει. Έτσι, ο δάσκαλος οδηγεί τον μαθητή να ανακαλύψει τις αρετές και να αναπτύξει τις δεξιότητές του, με στόχο όχι μόνο την μελλοντική επαγγελματική επιτυχία αλλά και, γενικότερα, την ολοκλήρωση της προσωπικότητάς του.

Και, όπως ο γλύπτης αναδεικνύει τη μορφή πετώντας το περιττό υλικό, έτσι κι ο δάσκαλος οφείλει να πείσει τον μαθητή να απαλλάξει τη σκέψη και την ψυχή του από άχρηστα ή και επιζήμια «υλικά», όπως η αυτοαμφισβήτηση, η προκατάληψη, η μισαλλοδοξία...

Ένας άλλος φίλος, νομικός, μου είχε περιγράψει πριν πολλά χρόνια έναν αντίστοιχο χαρισματικό δάσκαλο στη Νομική Σχολή. Ήταν καθηγητής Ιστορίας. Το να παρακολουθείς τις διαλέξεις του ήταν σαν να βλέπεις μια συναρπαστική θεατρική παράσταση, έναν μονόλογο από έναν ταλαντούχο αφηγητή που έδινε ζωή σε κάθε ιστορικό θέμα που περιέγραφε. Το αμφιθέατρο ήταν πάντα γεμάτο. Αντίθετα, λίγοι «σπασίκλες» (συγνώμη για την έκφραση) φοιτητές, μόνο, τιμούσαν τις παραδόσεις ενός άχρωμου καθηγητή Συνταγματικού Δικαίου, που ξεκινούσε το μάθημα λέγοντας «σήμερα θα ομιλήσωμεν δια το...» (αναφέρομαι σε πολύ παλιές εποχές!).

Στο Διαδίκτυο μπορεί κάποιος να βρει άφθονα videos με διαλέξεις φιλοσοφίας του Δημήτρη Λιαντίνη. Κάποιες από τις διαλέξεις αυτές απευθύνονταν σε μεταπτυχιακούς φοιτητές από τον χώρο της Εκπαίδευσης. Θα παρατηρήσει και εδώ ο διαδικτυακός επισκέπτης ότι «δεν έπεφτε καρφίτσα» στο αμφιθέατρο! Κι αυτό γιατί ο χαρισματικός αυτός δάσκαλος είχε τον τρόπο να συνεπαίρνει το ακροατήριό του, δίνοντας ζωή σε κάθε τι που ανέπτυσσε – ακόμα και αν επρόκειτο για δύσκολες έννοιες του φιλοσοφικού στοχασμού. (Υπήρχαν και καθηγητές που έκαναν μάθημα σε σχεδόν άδειες αίθουσες, όπως με έχουν πληροφορήσει συνάδελφοι εκπαιδευτικοί που παρακολουθούσαν τότε τον σχετικό κύκλο μεταπτυχιακών μαθημάτων.)

Ακολουθώντας και ο (σωκρατικός) Λιαντίνης την αυτογνωστική παιδαγωγική μέθοδο, έδειξε στους φοιτητές του ότι και οι πιο σύνθετες ιδέες της Φιλοσοφίας μπορούσαν να γίνουν κατανοητές αν τις αντιλαμβάνονταν σαν «αγνώστως προϋπάρχουσες» νοητικές μορφές που ανέμεναν τον Δάσκαλο που θα τις οδηγούσε στο ξέφωτο του συνειδητού.

Ας ανακεφαλαιώσουμε: Ο δάσκαλος που δεν ξεχάστηκε,

εύρισκε πάντα τον τρόπο να κάνει ακόμα και τις πιο δύσκολες και περίπλοκες ιδέες να μοιάζουν απλές και κατανοητές,

μπορούσε να κάνει ακόμα και το πιο ανιαρό, από τη φύση του, θέμα να φαίνεται συναρπαστικό,

δεν πρόσφερε τη γνώση σαν μασημένη τροφή αλλά οδηγούσε τον μαθητή να την ανακαλύψει «σαν να βρισκόταν πάντα κρυμμένη μέσα του»,

βοηθούσε τον μαθητή να αναδείξει και να καλλιεργήσει τις πραγματικές του αρετές και τα αληθινά του ταλέντα (όχι απαραίτητα συμβατά με τον ρόλο για τον οποίο τον προόριζε – είτε από φιλοδοξία, είτε απλά από ανάγκη – η οικογένειά του...).

Εν κατακλείδι, ο ρόλος του δασκάλου είναι να φωτίζει δρόμους. Είναι όμως απόφαση κι ευθύνη του ίδιου του μαθητή να τους διαβεί!

Σκέψεις πάνω στην αξιωματική θεμελίωση της Νευτώνειας Μηχανικής

Η απόλυτη ισχύς της Νευτώνειας Μηχανικής αμφισβητήθηκε τόσο από την Κβαντομηχανική, όσο και από τη Σχετικότητα. Και όμως, το δημιούργημα του Νεύτωνα είναι ακόμα ανοιχτό σε σημαντικές θεωρητικές διερευνήσεις και αξιωματικές αναθεωρήσεις!

Γράφει ο Κώστας Παπαχρήστου

Στο εισαγωγικό μάθημα της κλασικής Μηχανικής, οι πρωτοετείς μου καταφέρνουν συχνά να με εντυπωσιάζουν. Έχοντας πρόσφατη την εμπειρία των πανελλήνιων εξετάσεων και ζωντανές ακόμα στο μυαλό τους τις γνώσεις που αποκόμισαν από το λύκειο, μπορούν να λύσουν τις πιο στρυφνές και απαιτητικές ασκήσεις με τόση ευκολία που, ομολογώ, κι εμένα ακόμα με τρομάζει!

Από την άλλη, εισπράττω ενδιαφέρουσες απαντήσεις σε ερωτήματα εννοιολογικής φύσης. Για παράδειγμα, όταν ζητώ την διατύπωση του Νόμου της Αδράνειας με βάση εκείνα που γνωρίζουν από το λύκειο, οι περισσότεροι αναφέρονται στην αντίσταση των υλικών σωμάτων σε κάθε προσπάθεια μεταβολής της κινητικής τους κατάστασης. Όταν αντιλέγω ότι αυτό ορίζει τι είναι αδράνεια αλλά δεν διατυπώνει τον νόμο που την αφορά, γίνονται πιο συγκεκριμένοι: «Κάθε σώμα έχει την τάση να διατηρεί την κινητική του κατάσταση αν πάνω του δεν ασκείται ολική δύναμη διάφορη του μηδενός.»

Ωραία, θα πείτε, μην τα βασανίζεις άλλο τα παιδιά, καλά σου τα είπαν τώρα! Όμως, ο υποχόνδριος και ξενέρωτος δάσκαλος επιμένει: Κινητική κατάσταση ως προς τι; Και, σε σχέση με ποιους παρατηρητές; Όλους, γενικά, ή κάποιους με πολύ συγκεκριμένες ιδιότητες;

Είναι τότε η ώρα να μιλήσουμε για τον λεγόμενο αδρανειακό παρατηρητή. Κάποιον, δηλαδή, ως προς τον οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (ένα σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) είτε κινείται με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμα και ομαλά) είτε δεν κινείται καθόλου. Αυτός και μόνο αυτός έχει το δικαίωμα να χρησιμοποιεί στο δικό του σύστημα συντεταγμένων (αδρανειακό σύστημα αναφοράς) τους νόμους του Νεύτωνα (Isaac Newton, 1643–1727) και, ειδικά, τον Πρώτο Νόμο, αυτόν της Αδράνειας.

Βέβαια, δεν μπορεί κάποιος να απαιτήσει από παιδιά που μόλις τέλειωσαν το λύκειο να έχουν απόλυτα ξεκαθαρίσει μέσα τους λεπτές έννοιες της Μηχανικής που έχουν φέρει σε δύσκολη θέση γενιές Φυσικών! Έννοιες που συνεχίζουν να προβληματίζουν τον σκεπτόμενο φοιτητή των θετικών επιστημών στα μεγαλύτερα πανεπιστήμια του κόσμου...

Γράμμα από έναν Αμερικανό φοιτητή

Πριν μερικά χρόνια έλαβα ένα email από έναν ιδιαίτερα ευφυή και φιλομαθή φοιτητή θετικών επιστημών σε Πανεπιστήμιο του Τέξας. Έχοντας διαβάσει κάποιο δημοσιευμένο παιδαγωγικό άρθρο μου πάνω στη Νευτώνεια Μηχανική [1] απευθύνθηκε σε εμένα με ένα σχεδόν εναγώνιο ερώτημα: Είναι οι τρεις νόμοι του Νεύτωνα αληθινά ανεξάρτητοι μεταξύ τους, ή μήπως ο πρώτος νόμος δεν είναι παρά ειδική περίπτωση του δεύτερου;

Σε κάποιους Φυσικούς, ιδιαίτερα αυτούς που διδάσκουν κλασική Μηχανική, το ερώτημα ίσως φαίνεται στοιχειώδες. Σπεύδω, εν τούτοις, να σημειώσω ότι το ζήτημα της ανεξαρτησίας των Νευτώνειων νόμων έχει προκαλέσει μεγάλη σύγχυση από την εποχή ακόμα του Νεύτωνα. Μάλιστα, έτυχε πρόσφατα να διαβάσω εκπαιδευτικό άρθρο σε κάποιο πανεπιστημιακό site του εξωτερικού, το οποίο άρθρο μεταξύ άλλων ανέφερε ότι ο νόμος της αδράνειας (ο πρώτος νόμος) είναι άμεση συνεπαγωγή του δεύτερου νόμου. Ο καλός φοιτητής, λοιπόν, απλά έπεσε θύμα της παραπάνω σύγχυσης που, ως φαίνεται, καλά κρατεί!

Του απάντησα αμέσως εξηγώντας του ότι, χωρίς τον πρώτο νόμο, ο δεύτερος θα έχανε τη σημασία του. Ή μάλλον, θα ήταν εντελώς λανθασμένος στη διατύπωσή του, αφού θα έδινε την εντύπωση μιας γενικής αρχής που ισχύει ανεξάρτητα από την κινητική κατάσταση του παρατηρητή, πράγμα που ασφαλώς δεν ισχύει. Με άλλα λόγια, ο νόμος της αδράνειας ορίζει το «τερέν» μέσα στο οποίο διατυπώνεται και ισχύει ο δεύτερος νόμος. Όπως έγραψα στον φοιτητή, το να εφαρμόζουμε τον δεύτερο νόμο χωρίς να λαμβάνουμε υπόψη τον πρώτο, είναι σαν να επιχειρούμε να παίξουμε ποδόσφαιρο χωρίς να διαθέτουμε γήπεδο ποδοσφαίρου!

Ο νόμος της αδράνειας, λοιπόν, δεν είναι απόρροια αλλά, κατά κάποιον τρόπο, προϋπόθεση ισχύος του δεύτερου νόμου. Τα ερωτήματα όμως δεν σταματούν εδώ: Ακόμα κι αν δεχθούμε την ανεξαρτησία των νόμων του Νεύτωνα μεταξύ τους, είναι το σύστημα των τριών αυτών νόμων επαρκές ως βάση για την ανάπτυξη της κλασικής θεωρίας;

Πριν προχωρήσουμε, ας δούμε τους νόμους συνοπτικά...

Οι Νόμοι του Νεύτωνα, όπως τους ξέρουμε

Ο Πρώτος Νόμος (νόμος της αδράνειας) εγγυάται την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Ως τέτοιο σύστημα εννοούμε ένα σύστημα συντεταγμένων ως προς το οποίο ένα ελεύθερο σωμάτιο (σωμάτιο που δεν του ασκούνται δυνάμεις) κινείται με σταθερή ταχύτητα (ή, ισοδύναμα, χωρίς επιτάχυνση).

Ο Δεύτερος Νόμος ορίζει ότι, ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς, η επιτάχυνση ενός σωματιδίου είναι ανάλογη της ολικής δύναμης που ασκείται πάνω του.

Σύμφωνα με τον Τρίτο Νόμο ή νόμο δράσης-αντίδρασης, όταν δύο σωματίδια αλληλεπιδρούν, οι δυνάμεις που ασκεί το ένα στο άλλο είναι ίσου μέτρου και αντίθετης κατεύθυνσης.

Όμως, ποια είναι η «ολική δύναμη» πάνω σε ένα σωμάτιο, στην οποία αναφέρεται ο δεύτερος νόμος; Αυτό δεν μας το λένε οι νόμοι του Νεύτωνα! Την απάντηση έδωσε ο Ελβετός φυσικομαθηματικός Ντάνιελ Μπερνούλι (Daniel Bernoulli, 1700–1782) μετά τον θάνατο του Νεύτωνα, διατυπώνοντας την αρχή της επαλληλίας. Σύμφωνα με αυτήν, αν ένα σώμα υπόκειται σε διάφορες αλληλεπιδράσεις, η ολική δύναμη πάνω του είναι το (διανυσματικό) άθροισμα των δυνάμεων από κάθε αλληλεπίδραση χωριστά.

Μια εναλλακτική αξιωματική θεώρηση

Με βάση αυτά που προαναφέρθηκαν, η κλασική Νευτώνεια Μηχανική βασίζεται σε τέσσερις θεμελιώδεις αρχές: τους τρεις νόμους του Νεύτωνα και την αρχή της επαλληλίας. Σχετικά πρόσφατα, όμως [1] τέθηκε ένα αναθεωρητικό ερώτημα: Μήπως, τελικά, τέσσερις νόμοι είναι «πάρα πολλοί»; Αυτό οδήγησε στο, ας το πούμε, ανακάτεμα και ξαναμοίρασμα της τράπουλας, με ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα: Με κατάλληλη διατύπωση, οι νόμοι της Μηχανικής μπορούν να συμπυκνωθούν στη μορφή δύο μόνο ανεξάρτητων αξιωμάτων. Προσοχή: Δεν πετάμε τους δύο από τους τέσσερις αρχικούς νόμους και κρατούμε τους άλλους δύο, αλλά αναδιατυπώνουμε την αξιωματική βάση της Μηχανικής με τρόπο ώστε οι ανεξάρτητες αρχές να είναι δύο αντί τέσσερις. Φυσικά, από τα δύο θεμελιώδη αξιώματα προκύπτουν, μεταξύ άλλων, ως ειδικά συμπεράσματα οι γνωστοί νόμοι της Νευτώνειας Μηχανικής.

Το πρώτο αξίωμα (θα το ονομάσουμε Α1), το οποίο στη Νευτώνεια Μηχανική προκύπτει από τους βασικούς νόμους ως παράγωγο θεώρημα, λαμβάνεται εδώ ως θεμελιώδης αρχή. Εκφράζει την αρχή διατήρησης της ορμής [2] για ένα απομονωμένο σύστημα σωματιδίων και, έμμεσα, αξιώνει την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς. Στην ειδική περίπτωση απομονωμένου «συστήματος» που περιέχει ένα μόνο σωματίδιο, το αξίωμα Α1 ανάγεται στον νόμο της αδράνειας (πρώτο νόμο του Νεύτωνα).

Το δεύτερο αξίωμα (Α2) το γνωρίσαμε ήδη: είναι η αρχή της επαλληλίας, διατυπωμένη όμως λίγο διαφορετικά: Η μεταβολή της ορμής που προκαλεί σε ένα σωματίδιο ένα σύνολο αλληλεπιδράσεων, είναι ίση με το (διανυσματικό) άθροισμα των μεταβολών που θα προκαλούσε κάθε αλληλεπίδραση χωριστά.

Αν προσέξατε, μέχρι στιγμής πουθενά δεν εμφανίζεται η έννοια της δύναμης, η οποία αποτελεί την πεμπτουσία του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα! Αυτό συμβαίνει διότι η δύναμη ορίζεται εδώ απλά ως ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ως προς ένα αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Με τον ορισμό αυτό, το αξίωμα Α2 οδηγεί στην κλασική διατύπωση της αρχής της επαλληλίας που, όπως είπαμε νωρίτερα, οφείλεται στον Μπερνούλι.

Χρησιμοποιώντας τώρα τα αξιώματα Α1 και Α2, καθώς και τον ορισμό της δύναμης, μπορούμε να αποδείξουμε ως θεώρημα κάτι που στη Νευτώνεια Μηχανική αποτελεί αξίωμα: τον νόμο δράσης-αντίδρασης (τρίτο νόμο του Νεύτωνα). Άλλα σημαντικά θεωρήματα που μπορεί να αποδειχθούν είναι η αρχή διατήρησης της στροφορμής, το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας, η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας, κλπ.

Προβλήματα που παραμένουν...

Η οικονομικότερη αναδιατύπωση της αξιωματικής βάσης της Νευτώνειας Μηχανικής δεν απαλλάσσει, βέβαια, την κλασική θεωρία από τα εγγενή προβλήματά της. Πρώτα και κύρια, η θεωρία αυτή παύει να ισχύει σε έναν κόσμο πολύ υψηλών ταχυτήτων ή πολύ μικροσκοπικών διαστάσεων, δίνοντας τη θέση της στη Θεωρία της Σχετικότητας και την Κβαντική Θεωρία, αντίστοιχα. Υπάρχουν όμως προβλήματα ακόμα και στις συμβατικές περιοχές εφαρμογής της κλασικής θεωρίας. Ας δούμε τα κατά τη γνώμη μου πιο σημαντικά:

1. Το πρόβλημα των «αδρανειακών» συστημάτων αναφοράς

Απόλυτα αδρανειακά συστήματα αναφοράς δεν είναι δυνατό να υπάρχουν. Πράγματι, για να διαπιστώσουμε αν ένα σύστημα αναφοράς είναι αδρανειακό θα πρέπει να εξετάσουμε αν, ως προς αυτό, ένα οποιοδήποτε ελεύθερο σωμάτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα (δηλαδή, χωρίς επιτάχυνση). Όμως, η έννοια του ελεύθερου σωματίου είναι καθαρά θεωρητική και κανένα σωμάτιο στον κόσμο δεν μπορεί στην πραγματικότητα να θεωρείται ελεύθερο, για τους εξής λόγους: (α) Κάθε υλικό σωμάτιο υπόκειται στη βαρυτική έλξη που του ασκεί ο υπόλοιπος υλικός κόσμος, όσο μακριά κι αν βρίσκεται το σωμάτιο από αυτόν. (β) Για να διαπιστώσουμε αν ένα σωμάτιο κινείται με σταθερή ταχύτητα θα πρέπει κάπως να αλληλεπιδράσουμε μαζί του (π.χ., να το φωτίσουμε ρίχνοντας πάνω του έναν ικανό αριθμό φωτονίων). Έτσι, στη διάρκεια της αλληλεπίδρασης το σωμάτιο δεν μπορεί πλέον να θεωρείται ελεύθερο.

2. Το πρόβλημα του ταυτόχρονου

Στον τρίτο νόμο του Νεύτωνα (ο οποίος, όπως προαναφέραμε, προκύπτει ως θεώρημα στη δική μας προσέγγιση) η αντίδραση θεωρείται ότι λαμβάνει χώρα ταυτόχρονα με τη δράση. Αυτό σημαίνει ότι ένα σωματίδιο μπορεί να αλληλεπιδρά άμεσα (σε μηδενικό χρόνο) με ένα άλλο, όσο μακριά και αν βρίσκονται αυτά μεταξύ τους. Κάτι τέτοιο, βέβαια, προϋποθέτει άπειρη ταχύτητα διάδοσης της αλληλεπίδρασης. Όπως γνωρίζουμε, όμως, καμία αλληλεπίδραση δεν μπορεί να διαδοθεί με ταχύτητα μεγαλύτερη από εκείνη του φωτός!

Επίλογος

Αποτελούν τα όσα αναφέραμε πιο πάνω την τελευταία λέξη πάνω στη Νευτώνεια Μηχανική; Και βέβαια όχι! Η φοβερή αυτή θεωρία παραμένει «ζωντανή» και επιδεκτική σε πιθανές νέες αναθεωρήσεις σε ό,τι αφορά την αξιωματική της θεμελίωση. Και, έστω κι αν η Σχετικότητα και η Κβαντομηχανική περιόρισαν το πεδίο εφαρμογής της, ας μην ξεχνούμε ότι η κλασική Μηχανική εξακολουθεί να κυβερνά την ίδια μας την καθημερινότητα. Εκεί που το πολύ γρήγορο και το πολύ μικρό αφορούν, στην καλύτερη περίπτωση, τα αυτοκίνητά μας και τα... ολοένα συρρικνούμενα εισοδήματά μας, αντίστοιχα. Ο Νεύτωνας ήρθε εδώ για να μείνει!

Σημειώσεις

[1] C. J. Papachristou, Foundations of Newtonian Dynamics: An axiomatic approach for the thinking student

Πρωτότυπη δημοσίευση: Nausivios Chora, Vol. 4 (2012) 153-160,

https://nausivios.snd.edu.gr/docs/2012C2.pdf

Σε αναθεωρημένη και εμπλουτισμένη μορφή,

https://arxiv.org/abs/1205.2326

[2] Η ορμή ενός σωματιδίου είναι το γινόμενο της μάζας του επί την ταχύτητά του.

Physics Education Articles: 2025 Edition

Παραφράζοντας τον Ντεκάρτ, αναθεωρώ άρα υπάρχω !

Αναρτώ, λοιπόν, την αναθεωρημένη έκδοση του τεύχους των παιδαγωγικών άρθρων Φυσικής για σπουδαστές θετικών επιστημών. Έχω αντικαταστήσει κάποια άρθρα με νεότερες εκδόσεις τους, ενώ νέα άρθρα έχουν επίσης προστεθεί.

Physics Education: A collection of articles

Revisiting Archimedes' principle: Buoyancy and external pressure

A careful examination of Archimedes' principle shows that the buoyant force on a body that is either fully or partially immersed in a liquid is unaffected by the external (e.g. atmospheric) pressure, which acts both on the non-immersed part of the body (if any) and on the immersed part via Pascal's principle. The net force on the body due to the external pressure is zero and hence this pressure does not contribute to buoyancy.

Read the article

Mathematical Handbook

                  

Δείτε τη νέα έκδοση του Mathematical Handbook, εδώ.

Symmetry operators and generation of symmetry transformations of partial differential equations

Abstract: The study of symmetries of partial differential equations (PDEs) has been traditionally treated as a geometrical problem. Although geometrical methods have been proven effective with regard to finding infinitesimal symmetry transformations, they present certain conceptual difficulties in the case of matrix-valued PDEs; for example, the usual differential-operator representation of the symmetry-generating vector fields is not possible in this case. In this article an algebraic approach to the symmetry problem of PDEs – both scalar and matrix-valued – is described, based on abstract operators (characteristic derivatives) that admit a standard differential-operator representation in the case of scalar-valued PDEs. A number of examples are given.

Read the article

Κορνήλιος Καστοριάδης: Το βαρύ προνόμιο της Δύσης

Από το βιβλίο "Η άνοδος της ασημαντότητας" (ή "Πώς μπορείτε να καταρρίψετε το ιστορικό σχήμα της πάλης των τάξεων")

Στην ιστορία της Δύσης υπάρχουν αναρίθμητες φρικαλεότητες, τις οποίες η Δύση διέπραξε τόσο εναντίον των άλλων όσο και εναντίον του ίδιου του εαυτού της. Οι φρικαλεότητες όμως δεν αποτελούν προνόμιο της Δύσης. Παντού στον κόσμο υπάρχει συσσώρευση φρίκης, είτε πρόκειται για την Kίνα, την Ινδία, την Αφρική πριν από την αποικιοκρατία, είτε για τους Αζτέκους. H ιστορία της ανθρωπότητας δεν είναι η ιστορία της πάλης των τάξεων. Είναι η ιστορία των φρικαλεοτήτων - αν και όχι μόνον αυτή.

Yπάρχει, οπωσδήποτε, ένα θέμα προς συζήτηση: το θέμα του ολοκληρωτισμού. Eίναι ο ολοκληρωτισμός - όπως το νομίζω - η κατάληξη της τρέλας για κυριαρχία ενός πολιτισμού ο οποίος διέθετε τα μέσα εξόντωσης και χρησιμοποίησε την πλύση εγκεφάλου σε τέτοια κλίμακα που ποτέ άλλοτε δεν γνώρισε η Iστορία; Eίναι ο ολοκληρωτισμός ένα διεστραμμένο πεπρωμένο, εγγενές στη σύγχρονη εποχή, με όλες τις αμφισημίες που τη χαρακτηρίζουν; Eίναι, μήπως, κάτι άλλο ο ολοκληρωτισμός; Για τη συζήτησή μας το θέμα αυτό, αν μπορώ να πω, είναι θεωρητικό. Kαι είναι θεωρητικό στο μέτρο που τις φρικαλεότητες του ολοκληρωτισμού η Δύση τις έστρεψε εναντίον των δικών της (των Eβραίων συμπεριλαμβανομένων). Eίναι θεωρητικό στο μέτρο που η φράση «σκοτώστε τους όλους, ο θεός θα ξεχωρίσει τους δικούς του», δεν είναι φράση του Λένιν, αλλά ενός πολύ θεοσεβούμενου χριστιανού δούκα και ελέχθη όχι τον 20ό αλλά το 16ο αιώνα. Eίναι θεωρητικό, στο μέτρο που οι ανθρώπινες θυσίες έχουν εφαρμοστεί αφειδώς και σε τακτά χρονικά διαστήματα από τις μη ευρωπαϊκές κουλτούρες κ.λπ. Tο Iράν του Xομεϊνί οπωσδήποτε δεν είναι προϊόν του Διαφωτισμού.

Υπάρχει όμως κάτι το οποίο αποτελεί την ιδιομορφία, τη μοναδικότητα και το βαρύ προνόμιο της Δύσης: πρόκειται γι' αυτή την κοινωνικο-ιστορική αλληλουχία που ξεκινά στην αρχαία Ελλάδα και αρχίζει ξανά, από το 11ο αιώνα και μετά, στη δυτική Ευρώπη. Αυτή είναι η μόνη στην οποία βλέπουμε να προβάλει ένα πρόταγμα ελευθερίας, ατομικής και συλλογικής αυτονομίας, κριτικής και αυτοκριτικής. H πιο εντυπωσιακή επιβεβαίωση αυτού είναι ακριβώς ο λόγος ο οποίος καταγγέλλει τη Δύση. Διότι στη Δύση έχουμε τη δυνατότητα -τουλάχιστον ορισμένοι από εμάς- να καταγγέλλουμε τον ολοκληρωτισμό, την αποικιοκρατία, το δουλεμπόριο των Μαύρων, την εξόντωση των Ινδιάνων στην Aμερική. Όμως δεν έχω δει τους απογόνους των Αζτέκων, των Ινδών ή των Κινέζων να κάνουν μια ανάλογη αυτοκριτική. Απεναντίας, βλέπω ότι ακόμη και σήμερα οι Ιάπωνες αρνούνται τις θηριωδίες που διέπραξαν κατά το B  Παγκόσμιο Πόλεμο.

Τις πταίει...

Οι Άραβες καταγγέλλουν συνεχώς ότι για όλα τα κακά που τους ταλαιπωρούν ­εξαθλίωση, έλλειψη δημοκρατίας, διακοπή της εξέλιξης του πολιτισμού τους κ.λπ.­ ευθύνεται η αποικιοκρατία την οποία υπέστησαν από τους Ευρωπαίους. Ωστόσο, η αποικιοκρατία σε αρκετές αραβικές χώρες διήρκεσε στη χειρότερη περίπτωση εκατόν τριάντα χρόνια (έτσι συνέβη στην Aλγερία, 1830-1962). Ομως οι ίδιοι αυτοί Aραβες, πριν από την αποικιοκρατία των Eυρωπαίων, είχαν υποστεί για πέντε αιώνες το ζυγό των Tούρκων. H τουρκική κυριαρχία στην εγγύς και τη Mέση Aνατολή αρχίζει τον 15ο αιώνα και τελειώνει το 1918. Aλλά οι Aραβες, καθώς οι Tούρκοι κατακτητές τους ήταν ομόθρησκοί τους μουσουλμάνοι, δεν μιλούν για την κυριαρχία αυτή.

Πάντως, η εξέλιξη της αραβικής κουλτούρας σταμάτησε το 11ο με 12ο αιώνα, δηλαδή οκτώ αιώνες πριν καν να μπορεί να γίνει λόγος για την κατακτητική επέκταση της Δύσης. Eξάλλου και αυτή η ίδια η αραβική κουλτούρα βασίστηκε στις κατακτήσεις, την εξόντωση και τη λίγο έως πολύ βίαια επιβολή της ισλαμικής θρησκείας στους κατακτημένους πληθυσμούς. Στην Aίγυπτο το 550 μ.X. δεν υπήρχαν Aραβες, όπως δεν υπήρχαν Aραβες, τότε, ούτε στη Λιβύη ούτε στην Aλγερία ούτε στο Mαρόκο ούτε στο Iράκ. Οι Aραβες που βρίσκονται τώρα εκεί είναι απόγονοι των κατακτητών που κυρίευσαν αυτές τις χώρες και που επέβαλαν, με ή χωρίς βία, στους τοπικούς πληθυσμούς τη δική τους θρησκεία. Δεν βλέπω όμως να γίνεται καμία κριτική αυτών των γεγονότων μέσα στο χώρο του αραβικού κόσμου. Kατά τον αυτό τρόπο, μιλάμε βεβαίως για το δουλεμπόριο των Mαύρων απο τους Eυρωπαίους (16ος αιώνας και εντεύθεν), αλλά δεν μιλάμε ποτέ για το γεγονός ότι το δουλεμπόριο και η συστηματική υποδούλωση των Mαύρων στην Aφρική τα εγκαινίασαν Aραβες έμποροι (11ος - 12ος αιώνας και εντεύθεν, με τη συνενοχή - συμμετοχή, όπως πάντα, βασιλιάδων και φυλάρχων). Eπίσης, δεν μιλάμε για το γεγονός ότι η δουλεία δεν καταργήθηκε αυθόρμητα σε καμία ισλαμική χώρα και ότι σε κάποιες από αυτές η δουλεία ισχύει ακόμη και σήμερα.

Δεν θέλω να πω με κανέναν τρόπο ότι όλα αυτά απαλείφουν τα εγκλήματα που διέπραξαν οι Δυτικοί. Λέω μόνον ότι η ιδιαιτερότητα του δυτικού πολιτισμού έγκειται ακριβώς στην ικανότητά του της αυτοαμφισβήτησης και της αυτοκριτικής. Στην ιστορία της Δύσης, όπως και σε όλες τις άλλες ιστορίες, υπάρχουν θηριωδίες και φρικαλεότητες.

Αλλά όμως μόνον η Δύση δημιούργησε την ικανότητα για εσωτερική αμφισβήτηση ­αμφισβήτηση των ίδιων των θεσμών και των ιδεών της εν ονόματι της λογικής συζήτησης μεταξύ των ανθρώπων, η οποία παραμένει ανοιχτή στο διηνεκές και δεν αναγνωρίζει έσχατο δόγμα.

Πηγή

Ένα μαθηματικό πρόβλημα στη θεωρία των αριθμών

Έστω  m, n  θετικοί ακέραιοι (φυσικοί) αριθμοί. Θεωρούμε την συμμετρική ποσότητα

        Q(m,n) = Q(n,m) = (m+n)! / m! n!

Θέλουμε να δείξουμε ότι το Q είναι ακέραιος, για κάθε m και n.

Ένας τρόπος να δουλέψουμε είναι να παρατηρήσουμε ότι

        Q(m,n) = (m+1)(m+2)...(m+n) / n!

και να δείξουμε ότι ο αριθμητής είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του παρονομαστή. Θα πρέπει, λ.χ., να αναπτύξουμε αριθμητή και παρονομαστή σε γινόμενα δυνάμεων πρώτων αριθμών και να δείξουμε ότι οι δυνάμεις στον παρονομαστή δεν υπερβαίνουν τις αντίστοιχες στον αριθμητή. Η απόδειξη με αυτό τον τρόπο θα οδηγούσε, ίσως, σε μαθηματικό βραβείο!

Ένας διαφορετικός τρόπος είναι να αποδείξουμε ότι το Q(m,n) είναι πληθικός αριθμός (cardinal number) κάποιου συνόλου, ίσος εξ ορισμού με το πλήθος των στοιχείων του συνόλου. Ο αριθμός αυτός είναι, φυσικά, ακέραιος.

Θεωρούμε το σύνολο των διατεταγμένων n-άδων

        S(n, m+n) = { (α₁, α₂, ... , α_n) }

όπου τα  α₁, α₂, ... , α_n  παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές από το σύνολο {1,2,...,m+n}, που ικανοποιούν την ανισότητα  α₁ < α₂ < ... < α_n . Όπως λένε οι φωστήρες της συνδυαστικής ανάλυσης, ο πληθικός αριθμός τού πιο πάνω συνόλου ισούται με

        | S(n, m+n) | = Q(m,n) 

Εναλλακτικά, δοθέντος ότι το Q(m,n) είναι συμμετρικό ως προς τα m και n, μπορούμε να θεωρήσουμε το σύνολο των διατεταγμένων m-άδων

        S(m, m+n) = { (α₁, α₂, ... , α_m) }

όπου τα  α₁, α₂, ... , α_m  παίρνουν όλες τις δυνατές τιμές από το σύνολο {1,2,...,m+n}, που ικανοποιούν την ανισότητα  α₁ < α₂ < ... < α_m . Τότε, και πάλι, 

        | S(m, m+n) | = Q(m,n) 

    Παράδειγμα: Για m=2 και n=3 έχουμε ότι

Q(2,3) = 5! / 2! 3! = 10 .  Από την άλλη, το σύνολο

S(3,5) = { (1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), 

                (2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5) }

έχει πληθικό αριθμό  | S(3,5) |=10 .  Ισοδύναμα, για το σύνολο

S(2,5) = { (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), 

                (3,4), (3,5), (4,5) }

έχουμε και πάλι ότι  | S(2,5) |=10 .

    Συμπέρασμα: Ο αριθμός  Q = (m+n)! / m! n!  είναι ακέραιος και ίσος με

        Q(m,n) = | S(m, m+n) | = | S(n, m+n) |