Δευτέρα 22 Δεκεμβρίου 2014

Μερικές παρατηρήσεις για την ανεξαρτησία των Νόμων της Νευτώνειας Μηχανικής

Έλαβα χθες ένα πολύ ευγενικό mail από έναν φοιτητή στο Πανεπιστήμιο του Τέξας. Αφού με ευχαριστεί για τη δημοσίευση του άρθρου “Foundations of Newtonian Dynamics: An Axiomatic Approach for the Thinking Student”, λέγοντας πως του φάνηκε πολύ χρήσιμο και πως ελπίζει να ανήκει και ο ίδιος στους «σκεπτόμενους φοιτητές» του τίτλου, διατυπώνει ένα ερώτημα που αξίζει τον κόπο να παραθέσω, αφού αποτελεί ένα από τα πιο λεπτά σημεία της Νευτώνειας Μηχανικής.

Πριν απ’ όλα, δυο λόγια για το ίδιο το άρθρο: Πρόκειται για μια απόπειρα επαναδιατύπωσης (δεν θα τολμήσω να πω «αναθεώρησης») της αξιωματικής βάσης της Μηχανικής, έτσι ώστε η θεωρία να δομείται πάνω σε έναν ελάχιστο αριθμό ανεξάρτητων θεμελιωδών αρχών. Το συμπέρασμα είναι ότι οι Νόμοι του Νεύτωνα μπορούν να αντικατασταθούν από ένα διαφορετικό σετ δύο ανεξάρτητων αξιωμάτων, ως εξής:

Το πρώτο αξίωμα (Α.1) ενσωματώνει ταυτόχρονα την ύπαρξη αδρανειακών συστημάτων αναφοράς και την αρχή διατήρησης της ορμής για απομονωμένα συστήματα σωματιδίων. Το δεύτερο αξίωμα (Α.2) εκφράζει την αρχή της επαλληλίας για τις αλληλεπιδράσεις.

Ο Πρώτος Νόμος του Νεύτωνα (Νόμος της Αδράνειας) προκύπτει ως πόρισμα του Α.1. Στη συνέχεια, ορίζεται η έννοια της δύναμης ως ρυθμού μεταβολής της ορμής ενός σωματιδίου (F=dp/dt), πράγμα που αντιστοιχεί στον λεγόμενο Δεύτερο «Νόμο» του Νεύτωνα. Με βάση το Α.2, μια σύνθετη αλληλεπίδραση ενός σωματιδίου με άλλα σωματίδια περιγράφεται από ένα διανυσματικό άθροισμα δυνάμεων. Τέλος, με χρήση των Α.1 και Α.2, αποδεικνύεται ο Τρίτος Νόμος του Νεύτωνα (Νόμος Δράσης-Αντίδρασης).

Ένα παρόμοιο ερώτημα με αυτό του φοιτητή από το Τέξας απασχόλησε πολλούς μεγάλους Φυσικούς πριν από αυτόν, σε σχέση με τους ίδιους τους Νόμους του Νεύτωνα: Αφού, σύμφωνα με τον Δεύτερο Νόμο, το σύνολο των αλληλεπιδράσεων πάνω σε ένα σωματίδιο αντιπροσωπεύεται, ποσοτικά, από τη δύναμη F=dp/dt, στην περίπτωση ενός ελεύθερου σωματιδίου (που δεν υπόκειται σε αλληλεπιδράσεις) θα έχουμε ότι F=0, άρα dp/dt=0, άρα p=mv=σταθερό, άρα v=σταθερό. Δηλαδή, η ταχύτητα ενός ελεύθερου σωματιδίου είναι σταθερή. Μα, αυτό ακριβώς λέει ο Νόμος της Αδράνειας! Μήπως, λοιπόν, ο νόμος αυτός δεν είναι ένα ανεξάρτητο αξίωμα, αλλά απλά ένα πόρισμα του Δεύτερου Νόμου;

Λογικό το ερώτημα, όμως υπάρχει ένα λεπτό σημείο: Ποιος παρατηρητής δικαιούται να συμπεράνει ότι, αν η ορμή p του σωματιδίου είναι σταθερή, τότε το σωματίδιο είναι ελεύθερο αλληλεπιδράσεων; Απάντηση: Μόνο ένας Αδρανειακός παρατηρητής, που χρησιμοποιεί ένα Αδρανειακό σύστημα αναφοράς! Την ύπαρξη, ακριβώς, τέτοιων συστημάτων εγγυάται ο Νόμος της Αδράνειας. Χωρίς αυτόν, ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα θα καθίστατο απροσδιόριστος, αν όχι λανθασμένος, αφού θα φαινόταν ότι ισχύει για κάθε παρατηρητή γενικά, ανεξάρτητα από τη δυναμική του κατάσταση. Δηλαδή, ο Νόμος της Αδράνειας ορίζει το «τερέν» μέσα στο οποίο διατυπώνεται και ισχύει ο Δεύτερος Νόμος. Όπως έγραψα στον φοιτητή, εφαρμόζοντας τον Δεύτερο Νόμο χωρίς τον Πρώτο, θα ήταν σαν να παίζουμε ποδόσφαιρο χωρίς να διαθέτουμε γήπεδο ποδοσφαίρου!

Σημειώνω ότι το άρθρο βρίσκεται αναρτημένο και εδώ.

Επίσης, υπάρχει και σε ελληνική μετάφραση.

Παρατηρήσεις και σχόλια πάντα δεκτά!

Σάββατο 20 Δεκεμβρίου 2014

Τρίτη 16 Δεκεμβρίου 2014

Μια νέα αξιωματική προσέγγιση στη Νευτώνεια Μηχανική

Η Νευτώνεια Μηχανική δομείται πάνω σε τρεις θεμελιώδεις αρχές, τους Νόμους του Νεύτωνα, που πρωτοδημοσιεύθηκαν το 1687. Αν και η ιστορική τους σημασία είναι αδιαμφισβήτητη, αφήνουν κάποια ερωτήματα ανοιχτά σε όποιον αναζητά μια αυστηρή και αυτοσυνεπή αξιωματική θεμελίωση της κλασικής Μηχανικής. Για παράδειγμα:

1. Πόσο ανεξάρτητοι είναι οι δύο πρώτοι Νόμοι; Είναι ο Πρώτος Νόμος ειδική περίπτωση του Δεύτερου;

2. Είναι ο Δεύτερος Νόμος ένας αληθινός νόμος, ή απλά ένας ορισμός (της δύναμης);

3. Είναι ο Τρίτος Νόμος πιο θεμελιώδης από τη διατήρηση της ορμής, ή το αντίθετο;

4. Και, τελικά, πόσοι ανεξάρτητοι νόμοι απαιτούνται για την αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας; Είναι τρεις (όπως πρότεινε ο Νεύτων) ή μήπως θα μπορούσαν να είναι λιγότεροι; Και ποιοι θα είναι αυτοί;

Πρόσφατα προτάθηκε μια νέα προσέγγιση στο πρόβλημα. Όπως αποδείχθηκε, δύο και μόνο ανεξάρτητοι νόμοι απαιτούνται για την αξιωματική θεμελίωση της Νευτώνειας Μηχανικής. Οι γνωστοί τρεις Νόμοι του Νεύτωνα, καθώς και όλα τα βασικά θεωρήματα της Μηχανικής, απορρέουν από αυτά τα δύο θεμελιώδη αξιώματα.

Δείτε το άρθρο στην τελική, δημοσιευμένη μορφή

Δείτε το Abstract στο arXiv.org

Δείτε την ελληνική μετάφραση

Άλλα άρθρα Κλασικής Μηχανικής από το site του MIT